\(B=1!+2.2!+3.3!+...+k.k!\)

\(=1!+\left(3-1\right)2!+\left(4-1\right)3!+...+\left(k+1-1\right)k!\)

\(=1!+3!-2!+4!-3!+...+\left(k+1\right)!-k!\)

\(=\left(k+1\right)!-1\)

\(C=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)

\(=\frac{2}{2!}-\frac{1}{2!}+\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}+\frac{4}{4!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{n!}\)

2.

Với \(n=0\Rightarrow1\ge\frac{1}{2}\) đúng

Với \(n=1\Rightarrow1\ge1\) đúng

Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge2\) hay \(k!\ge2^{k-1}\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(\left(k+1\right)!\ge2^k\)

Thật vậy, ta có:

\(\left(k+1\right)!=k!\left(k+1\right)\ge2^{k-1}.\left(k+1\right)>2^{k-1}.2=2^k\) (đpcm)

1.a) để A là số hữu tỉ thì 2n+3 nguyên và n - 1 khác 0

từ hai điều kiện trên suy ra n nguyên và n khác 1

b) để A nguyên thì 2n+3 ⋮ n - 1

⇒ 2(n - 1) +5 ⋮ n - 1

⇒ 5 ⋮ n - 1

⇒n ∈ {-4; 0; 2; 6}

2. x < y ⇔ \(\dfrac{a}{n}< \dfrac{b}{n}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2a}{2n}< \dfrac{a+b}{2n}< \dfrac{2b}{2n}\Leftrightarrow x< z< y\)

(A=dfrac{x}{x+y+z}+dfrac{y}{y+z+t}+dfrac{z}{z+t+x}+dfrac{t}{t+x+y})

Giả sử: (Ain N) thì

(left{{}egin{matrix}dfrac{x}{x+y+z}in N\dfrac{y}{y+z+t}in N\dfrac{z}{z+t+x}in N\dfrac{t}{x+y+t}in Nend{matrix} ight.) (Leftrightarrowleft{{}egin{matrix}x⋮x+y+z\y⋮y+z+t\z⋮z+t+x\t⋮t+x+yend{matrix} ight.)

Vì (x;y;z;tin Ncircledast) nên

(left{{}egin{matrix}xge x+y+z\yge y+z+t\zge z+t+x\tge t+x+yend{matrix} ight.Leftrightarrowleft{{}egin{matrix}x+yle0\z+tle0\t+xle0\x+yle0end{matrix} ight.)

Điều trên ko thể xảy ra, (A otin N)

Ta có: \(VT=x-\dfrac{xyz}{yz+1}+y-\dfrac{xyz}{xz+1}+z-\dfrac{xyz}{xy+1}\)

\(=x+y+z-xyz\left(\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{xz+1}\right)\)

Ta sẽ chứng minh BĐt sau :

\(xyz\left(\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{xz+1}\right)\ge xyz\)

hay \(xyz\left(\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{xz+1}-1\right)\ge0\)

Mà đây là 1 điều luôn đúng vì \(\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{xz+1}\ge\dfrac{9}{xy+yz+xz+3}\ge\dfrac{9}{x^2+y^2+z^2+3}>1\) và \(xyz\ge0\)

Do đó \(VT\le x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+y+z\)(*)

Áp dụng BĐt bunyakovsky:

\(VT^2=\left[x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right).1\right]^2\le\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[1+\left(1-yz\right)^2\right]\)\(=\left(2+2yz\right)\left(y^2z^2-2yz+2\right)=4+2y^2z^2\left(yz-1\right)\le4\)

( do \(yz\le\dfrac{y^2+z^2}{2}\le\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1\))

\(\Rightarrow VT\le2\) (đpcm)

Dấu = xảy ra khi \(x=0;y=z=1\) cùng các hoán vị

P/s: Từ chỗ (*) là 1 BĐT có nhiều cách chứng minh .

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{x^4}{y+3z}+\dfrac{y+3z}{16}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^4}{y+3z}\cdot\dfrac{y+3z}{16}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^4}{y+3z}\ge x-\dfrac{y+3z}{16}-\dfrac{1}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại:

\(\dfrac{y^4}{z+3x}\ge y-\dfrac{z+3x}{16}-\dfrac{1}{2};\dfrac{z^4}{x+3y}\ge z-\dfrac{x+3y}{16}-\dfrac{1}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{3}{4}\cdot3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Cách khác:

\(\dfrac{x^4}{y+3z}+\dfrac{y^4}{z+3x}+\dfrac{z^4}{x+3y}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4.\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}=\dfrac{\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}}{4\sqrt{3}}\)

\(\ge\dfrac{\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^3}}{4\sqrt{3}}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)

có vẻ khó :v

3a)Vì A là số nguyên

=>\(3n+9⋮n-4=>3n-12+21⋮n-4=>3.\left(n-4\right)+21⋮n-4\)

Mà \(\text{3 . (n - 4)}⋮n-4\)

=>\(21⋮n-4=>n-4\inƯ\left(21\right)=\left\{-21;-7;-3;-1;1;3;7;21\right\}\)

(Vì n là số nguyên => n - 4 là 1 số nguyên)

=>\(n\in\left\{-17;-3;1;3;5;9;11;25\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy.....

b)Vì B là số nguyên

=>\(2n-1⋮n+5=>2n+10-11⋮n+5=>2\left(n+5\right)-11⋮n+5\)

Mà \(\text{2 ( n + 5)}⋮n+5\)

=>\(11⋮n+5=>n+5\in\left\{-11;-1;1;11\right\}\)

(Vì n là số nguyên=> n + 5 là số nguyên)

=> \(n\in\left\{-16;-6;-4;6\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy.......

Bài 6 cậu chép đúng đề bài chứ??

2) Ta có: x₁ < x₂ (theo đề bài) => x₁ + x₁ < x₁ + x₂ < x₂ + x₂

=> 2.x₁ < x₁ + x₂ < 2 . x₂

=>\(\dfrac{2.x_1}{2}< \dfrac{x_1+x_2}{2}< \dfrac{2.x_2}{2}\)

=>\(x_1< \dfrac{x_1+x_2}{2}< x_2\left(dpcm\right)\)